Numerično računanje Landauove konstante
Matija Derganc and Luka Urbanč. 2025. Numeric Computations of Landau's Constant. In Proceedings of the 11th Student Computing Research Symposium (SCORES'25), Ljubljana, Slovenia.
Citiraj · BibTeX
@inproceedings{urbanc2025landaus,
author = {Matija Derganc and Luka Urbanč},
title = {{Numeric Computations of Landau's Constant}},
booktitle = {Proceedings of the 11th Student Computing Research Symposium (SCORES'25)},
year = {2025},
address = {Ljubljana, Slovenia},
publisher = {University of Ljubljana, Faculty of Computer and Information Science},
isbn = {978-961-7059-18-2},
doi = {10.51939/scores25},
url = {https://zalozba.fri.uni-lj.si/SCORES2025.pdf}
}
Kar se je začelo kot projekt za predmet Programiranje 2 v drugem semestru drugega letnika na prvi stopnji matematike, se je potem po priporočilu izr. prof. dr. Matije Pretnarja spremenilv projekt, ki sva ga predstavila drugim študentom in raziskovalcem na Fakulteti za računalništvo in informatiko v Ljubljani.
Zaradi skupnega zanimanja za kompleksno analizo, sva se skupaj z Matija Dergancem lotila implementacije algoritma, ki ga je predlagal Rober Rettinger v svojem članku z naslovom “On Computable Approximation of Landau’s Constant”. V njem avtor okvirno opiše delovanje algoritma in utemelji njegovo končnost. Algoritem je ustvarjen tako, da kot vhod sprejme želeno natančnost, nato pa kot izhod vrne vrednost Landauve konstante z dano natančnostjo. Kljub temu da je algoritem teoretično končen, pa zaradi omejitve spomina na modernih računalnikih koristna aproksimacija ni možna.
Landauova konstanta je konstanta s področja kompleksne analize, ki opisuje supremum radiev diskov, ki jih lahko včrtamo v sliko $f(\mathbb{D})$ za funkcije $f$, ki pripadajo določenemu razredu normaliziranih holomorfnih funkcij. Na obstoj konstante lahko gledamo kot kvantitativno različico izreka, ki pravi, da so nekonstantne holomorfne funkcije odprte. Vrednost konstante je sicer še neznana, a obstajajo tako zgornja kot spodnja meja za njeno vrednost. Če konstanto označimo z $\lambda$, potem velja $$ \frac{1}{2} < \lambda \leq \frac{\Gamma(\frac{1}{3}) \Gamma (\frac{5}{6})}{\Gamma (\frac{1}{6})} = 0.5432\dots, $$ kjer je zgornja meja tudi domnevno natančna vrednost konstante. Landauova konstanta je tesno povezana z Blochovo konstanto, za katero je R. Rettinger prav tako predlagal podoben končen algoritem. Obe konstanti sta natančneje predstavljeni tudi v Matijinem diplomskem delu.
Celoten članek je na voljo tukaj, na voljo pa so tudi ostali prispevki iz SCORES 2025, ki so zbrani v delu z naslovom Proceedings of the 11th Student Computing Research Symposium.